转一篇不错的文章，对导数概念的理解很有帮助
导数概念是
数学分析基本概念，很多同学对此模棱两可，现从“导数概念局部性”“利用导函数极限求导数值”“两个实例”三方面对导数概念进行讨论，使同学们对导数有更深更全面的了解。
1. 导数概念的局部性
因为导数与连续同样是用某一点的极限定义，故导数与连续同样也是一个局部性的概念，函数
ｆ(
ｘ)在
ｘ0连续，在
ｘ0邻域不一定连续，同样，
ｆ(
ｘ)在
ｘ0可导，在
ｘ0邻域也不一定可导。
例如：
ｆ(
ｘ)=
ｘ2
Ｄ(
ｘ)，(其中
Ｄ(
ｘ)为狄利克雷函数)，可以证明，它只在原点可导。
因为
，
可见
ｆ(
ｘ)在
ｘ=0可导且
ｆ(
ｘ)=0，但
ｆ(
ｘ)在其余点不可导。事实上，设{Ｘｎ}是大于且趋于
ｘ0的有理数列，{
ｘｎ}是大于且趋于
ｘ0的无理数列。于是当
ｘ0为无理数时，因为
，
但
。
由海涅定理：
ｆ(
ｘ)在无理点
ｘ0不可导。当
ｘ0为非零有理数时，
因为
，
但
，
由海涅定理：
ｆ(
ｘ)在非零有理点
ｘ0处也不可导。
2. 利用导函数的极限求导数值一般来说，不能用函数
ｆ‘(ｘ)在
ｘ0的极限求
ｆ’(
ｘ0)，除非
ｆ(
ｘ)在
ｘ0连续。但是导函数却不一样，在较弱条件下就可以这样做。
定理：设函数
ｆ(
ｘ)在区间[
ｘ0，
ｘ0+
h](
h>0)内连续，且当
ｘ>
ｘ0时有有穷导数
ｆ‘(
ｘ)，若
ｆ’(
ｘ0+0)存在(有穷或无穷)，则
ｆ‘(
ｘ0+0)=
ｆ’(
ｘ0)
证明：设0<△ｘ<
h由拉格朗日中值定理有
其中0<0<1，令△
ｘ→0+得：
ｆ‘(
ｘ0)=
ｆ’(
ｘ0+0)上述结果有下面两方面意义：
1). 导函数在某点的单侧极限存在，则该点的同侧导数就存在，若此左右极限又相等，那么极限就是该点的导数，这就是说用导函数的单侧极限可以求导数值。这种方法当特殊点的导数不易求，而导函数的单侧极限易求时尤其有效。
2). 某点导数存在，则导函数在该点的左右极限存在且相等，这意味着导函数不可能有跳跃间断点，或者说导函数在每一点，或连续，或第二类间断；还可换一种说法，就是有跃点的函数没有原函数，即不会是某个函数的导函数，这后一说法在积分学中表明：有跃点的函数无法求不定积分。
3. 几个反例
3.1
但是
ｆ(
ｘ)在任何一点都没有导数。
例如：
因为
ｘ+1/
ｎ与
ｘ同为有理数，或同为无理数，
故恒有：
ｆ(
ｘ+1/
ｎ)-
ｆ(
ｘ)=0
所以
。
但是
ｆ(
ｘ)在(-∞，+∞)内处处间断，从而在任何一点都没有导数。
本例说明：求函数在一点的导数时，自变量的增量必须是趋向于零的任意量，它不能只按某些特定的方式趋向于零。
3.2
存在，但是函数
ｆ(
ｘ)在
ｘ=ａ不可导。例如
ｆ(
ｘ)=│
ｘ│在
ｘ=0
有
ｆ(0+
h)=
ｆ(0-
h)=│
h│
但是
ｆ(
ｘ)在
ｘ=0不可导
本例说明：
这一结论是在
ｆ(
ｘ)在
ｘ=ａ处可导的条件下才成立。
